📈 Analyse 2BAC SM #32 / 38

Oublier le facteur $u^{'}$ en dérivant $ln (u)$

Écrire $(ln (u))^{'} = \frac{1}{u}$ au lieu de $\frac{u ^{'}}{u}$ .

🧠 Biais cognitif identifié : Oubli de la règle de chaîne

❌ L'erreur typique

On retient $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et on l'applique tel quel à $ln (u (x))$ en écrivant $\frac{1}{u}$ . La formule correcte est $(ln (u))^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ .

Exemple : avec $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ , on a $u = x^{2} + 1$ et $u^{'} = 2 x$ , donc $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ et non $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ . Avec $ln (3 x)$ : $\frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$ — ici le résultat coïncide par hasard, ce qui renforce la mauvaise habitude.

✅ Le réflexe pour ne plus jamais y tomber

Réflexe : la dérivée de $ln (u)$ est une fraction dont le numérateur est $u^{'}$ , jamais $1$ (sauf si $u = x$ ).

Repérer $u$ (l'expression dans le $ln$ ).
Calculer $u^{'}$ .
Écrire $\frac{u ^{'}}{u}$ .
Vérifier le domaine : il faut $u > 0$ .

🎯 Où ça te coûte des points au BAC SM

En Bac Sciences Exp (PC/SVT), les fonctions du type $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ ou $x - ln (2 x + 1)$ sont classiques dans le problème d'analyse. Une dérivée erronée fausse le signe de $f^{'}$ , donc le sens de variation et l'extremum. C'est aussi central pour les primitives de la forme $\frac{u ^{'}}{u}$ dans le calcul d'intégrales, où l'erreur se paie deux fois.

💡 Pour les curieux : pourquoi ton cerveau fait ça déplier ▾replier ▴

La formule $\frac{1}{x}$ est ancrée comme « la dérivée du $ln$ », et le numérateur $1$ semble universel. Comme dans le cas $ln (a x)$ le facteur $u^{'}$ se simplifie souvent, l'erreur passe inaperçue et se fossilise.