Fiche de révision — 3ème Année Collège

Brevet · Tout ce qu'il faut maîtriser · lumaths.com

🔣 Identités remarquables 📄 mémento →

(a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ex : (x+3)² = x²+6x+9

(a − b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Ex : (2x−1)² = 4x²−4x+1

Différence de carrés

(a+b)(a−b) = a² − b²

Ex : (x+5)(x−5) = x²−25

Pièges à éviter

✗ (a+b)² ≠ a²+b² — Le terme 2ab est souvent oublié !
✗ Pour factoriser a²−b², reconnaître les deux carrés parfaits

Astuce

Développer = passer d'un produit à une somme · Factoriser = l'inverse

xⁿ Puissances (révision) 📄 mémento →

Règles essentielles

$a^{m}$ ×aⁿ= $a^{m}$ ⁺ⁿ · $a^{m}$ ÷aⁿ= $a^{m}$ ⁻ⁿ · ( $a^{m}$ )ⁿ= $a^{m}$ ⁿ

Notation scientifique

a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

√ Racines carrées 📄 mémento →

Définition

$a$ × $a$ = a (pour a ≥ 0)

Produit

$a \times b$ = $a$ × $b$

Ex :

12

4 \times 3

= 2

3

Quotient

$a / b$ = $a$ / $b$

Simplification

k $a$ ± m $a$ = (k±m) $a$

Ex : 3

2

+ 5

2

= 8

2

Rationalisation

a/ $b$ = a $b$ /b

Ex : 5/

3

= 5

3

Pièges à éviter

✗ $a + b$ ≠ $a$ + $b$ (erreur très fréquente)
✗ $a^{2}$ = |a| (pas juste "a" si a peut être négatif)

= Équations et systèmes 📄 mémento →

Équation 1er degré

ax + b = 0 → x = −b/a

Système par substitution

Exprimer x en fonction de y (ou inversement) puis substituer

Système par combinaison

Multiplier une équation pour éliminer une inconnue

Pièges à éviter

✗ Vérifier la solution dans les DEUX équations du système

≃ Théorème de Thalès 📄 mémento →

Énoncé

Si (DE) ∥ (BC) alors DA/AB = DE/BC = AE/AC

Réciproque

Si DA/AB = DE/BC → (DE) ∥ (BC)

Cas des droites sécantes

Même rapport pour les 4 longueurs

Pièges à éviter

✗ Bien identifier les triangles emboîtés et l'ordre des sommets
✗ Le rapport est positif si les points sont du même côté

△ Théorème de Pythagore 📄 mémento →

Direct

Angle droit en A → BC² = AB² + AC²

Réciproque

Si BC²=AB²+AC² → angle droit en A

Triples pythagoriciens

(3,4,5) · (5,12,13) · (8,15,17) · (6,8,10)

Astuce

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — toujours le plus long

∠ Trigonométrie dans les triangles 📄 mémento →

Dans un triangle rectangle (angle α)

sin α = côté opp. / hypoténuse · cos α = côté adj. / hypoténuse · tan α = côté opp. / côté adj.

Valeurs remarquables

sin 30°= 1/2 · sin 45°= $2$ /2 · sin 60°= $3$ /2

cos 30°= $3$ /2 · cos 45°= $2$ /2 · cos 60°= 1/2

Relation fondamentale

cos²α + sin²α = 1 (dans tout triangle rectangle)

Calculer un angle

α = arcsin(opp/hyp) ou α = arccos(adj/hyp) ou α = arctan(opp/adj)

Pièges à éviter

✗ SOH-CAH-TOA s'applique UNIQUEMENT dans les triangles rectangles
✗ sin et cos sont entre 0 et 1 pour des angles entre 0° et 90°
✗ Formules des sinus et Al-Kashi (cosinus) : programme 1BAC — pas au programme du brevet !

Astuce

Pour tout triangle : somme des angles = 180°. Triangle équilatéral : tous côtés égaux, tous angles = 60°

f(x) Fonctions affines 📄 mémento →

Forme

f(x) = ax + b (a : pente ou coefficient directeur, b : ordonnée à l'origine)

Monotonie

a > 0 : croissante · a < 0 : décroissante · a = 0 : constante (fonction constante)

Zéro de f

f(x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ x = −b/a (si a ≠ 0)

Graphe

Droite passant par (0 ; b) et de pente a · Deux points suffisent

Pièges à éviter

✗ Si a = 0 → f(x) = b est une fonction constante (droite horizontale)
✗ Courbe de f : toujours une droite — jamais une courbe pour f affine

< Inéquations du 1er degré 📄 mémento →

Résoudre ax + b > 0

Isoler x. Si a > 0 : x > −b/a. Si a < 0 : x < −b/a (inversion !)

Règle clé

Multiplier/diviser par un NÉGATIF → inverser le sens de l'inégalité

Inéquation produit

A×B > 0 : tableau de signes → mêmes signes · A×B < 0 : signes opposés

Pièges à éviter

✗ Oublier d'inverser l'inégalité quand on × ou ÷ par un nombre négatif — piège classique !
✗ −x > 5 → x < −5 (et non x > −5)

Astuce

Toujours vérifier le sens de l'inégalité après chaque opération

→ Vecteurs dans le plan 📄 mémento →

Coordonnées $\overrightarrow{AB}$

$A B = (x_{B} - x_{a},;, y_{B} - y_{a})$

Égalité

$A B$ = $C D$ ⇔ même direction, même sens, même norme

Combinaison linéaire

$A M$ = t· $A B$ ⇒ A, M, B alignés

Colinéarité

$u^{\to}$ (a;b) ∥ $v^{\to}$ (c;d) ⇔ ad − bc = 0 (déterminant nul)

Relation de Chasles

$A B$ + $B C$ = $A C$ · $A B$ + $B A$ = $0$

Pièges à éviter

✗ $A B$ ≠ $B A$ — l'ordre des lettres compte !
✗ Vecteur nul : $0$ est colinéaire à tout vecteur

🎲 Statistiques & Probabilités 📄 mémento →

Probabilité d'un événement

P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Complémentaire

P(Ā) = 1 − P(A)

Ex : P(non 6) = 1 − 1/6 = 5/6

Événements incompatibles

P(A∪B) = P(A) + P(B) si A∩B = ∅

Formule générale

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

Statistiques — Indicateurs

Moyenne $\overline{x}$ · Médiane · Mode · Étendue = max−min · Quartiles Q₁, Q₂, Q₃

Pièges à éviter

✗ 0 ≤ P(A) ≤ 1 toujours — une probabilité ne peut pas dépasser 1
✗ Événements indépendants ≠ événements incompatibles (confusion fréquente)

Astuce

Arbre de probabilité : multiplier sur une branche, additionner les branches complètes

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