Fiche de révision — 2ème Année Collège

Fractions, puissances, équations, Pythagore, trigonométrie · lumaths.com

½ Fractions et opérations 📄 mémento →

Simplification

(a×k)/(b×k) = a/b

Ex : 36/48 = 3/4 (÷12)

Multiplication / Division

a/b × c/d = ac/bd | a/b ÷ c/d = a/b × d/c

Pièges à éviter

✗ Ne pas simplifier avant de multiplier = fractions énormes

xⁿ Puissances 📄 mémento →

Produit

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

Ex : 2³ × 2⁴ = 2⁷

Quotient

$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$

Ex : 3⁵ ÷ 3² = 3³

Puissance de puissance

( $a^{m}$ )ⁿ = $a^{m}$ ⁿ

Ex : (2³)⁴ = 2¹²

Puissance zéro

a⁰ = 1 (a ≠ 0)

Ex : 7⁰ = 1

Puissance négative

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Ex : 2⁻³ = 1/8

Notation scientifique

a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10

Ex : 0,0034 = 3,4 × 10⁻³

Pièges à éviter

✗ (-2)⁴ = 16 mais -2⁴ = -16 (attention aux parenthèses)
✗ $a^{m}$ × $b^{m}$ = (ab) $^{m}$ mais $a^{m}$ + $b^{m}$ ≠ (a+b) $^{m}$

⚖️ Équations du 1er degré 📄 mémento →

Résoudre ax + b = 0

x = −b/a (a ≠ 0)

Méthode

Isoler x : effectuer les mêmes opérations des deux côtés

Inéquation

Si on multiplie/divise par un négatif → on inverse le sens de l'inégalité

Pièges à éviter

✗ −x > 5 → x < −5 (inversion car on multiplie par −1)
✗ Toujours vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation

△ Théorème de Pythagore 📄 mémento →

Théorème

Dans un triangle rectangle : BC² = AB² + AC²

Ex : Si AB=3, AC=4 → BC=5

Réciproque

Si BC² = AB² + AC² → triangle rectangle en A

Trouver un côté

AB = $B C^{2} - A C^{2}$

Ex : BC=13, AC=5 → AB =

169 - 25

= 12

Pièges à éviter

✗ L'hypoténuse est TOUJOURS le côté opposé à l'angle droit (le plus grand)
✗ Réciproque : vérifier que le plus grand côté est à gauche du =

∠ Introduction à la trigonométrie 📄 mémento →

cos(α)

côté adjacent / hypoténuse

sin(α)

côté opposé / hypoténuse

tan(α)

côté opposé / côté adjacent = sin(α)/cos(α)

Mnémotechnique

SOH-CAH-TOA (Sin=Opp/Hyp, Cos=Adj/Hyp, Tan=Opp/Adj)

Pièges à éviter

✗ sin et cos valent toujours entre −1 et 1
✗ cos²(α) + sin²(α) = 1 (relation fondamentale)

√ Racines carrées 📄 mémento →

Définition

$a$ ≥ 0 et ( $a$ )² = a pour a ≥ 0

Produit

$a \times b$ = $a$ × $b$

Ex :

75

25 \times 3

= 5

3

Quotient

$a / b$ = $a$ / $b$ (b > 0)

Ex :

16/9

= 4/3

Simplification

k $a$ ± m $a$ = (k±m) $a$

Ex : 4

5

−

5

= 3

5

Pièges à éviter

✗ $a + b$ ≠ $a$ + $b$ — erreur très fréquente !
✗ $x^{2}$ = |x|, pas x (si x peut être négatif)

Astuce

Simplifier $\sqrt{n}$ : chercher le plus grand carré parfait divisant n

(a+b)² Identités remarquables 📄 mémento →

(a + b)²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Ex : (x+4)² = x²+8x+16

(a − b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Ex : (3x−2)² = 9x²−12x+4

Différence de carrés

(a+b)(a−b) = a² − b²

Ex : (x+7)(x−7) = x²−49

Pièges à éviter

✗ (a+b)² ≠ a²+b² — le terme 2ab manque souvent !
✗ Développer puis simplifier avant de factoriser — ne pas sauter d'étape

⚖️ Systèmes d'équations 📄 mémento →

Substitution

Exprimer x en fonction de y (ou l'inverse) puis substituer dans l'autre équation

Combinaison (addition)

Multiplier une ou deux équations pour éliminer une inconnue

Ex : {3x+y=7 et x−y=1 → ajouter → 4x=8 → x=2}

Vérification

Remplacer (x,y) dans les DEUX équations d'origine

Pièges à éviter

✗ Toujours vérifier la solution dans les deux équations
✗ Si 0 = 0 apparaît : infinité de solutions — si 0 = k≠0 : pas de solution

≃ Théorème de Thalès 📄 mémento →

Énoncé

Si (DE) ∥ (BC) et A∉(BC) alors : AD/AB = AE/AC = DE/BC

Réciproque

Si AD/AB = AE/AC → (DE) ∥ (BC)

Application

Calculer une longueur inconnue grâce au rapport constant

Pièges à éviter

✗ Vérifier l'ordre des points dans les rapports (AD/AB ≠ DA/AB)
✗ La droite parallèle coupe les DEUX côtés du triangle (ou leurs prolongements)

Astuce

Produit en croix : AD/AB = AE/AC → AD × AC = AE × AB

📍 Repérage dans le plan 📄 mémento →

Milieu de [AB]

I = (( $x_{a}$ +x_B)/2 ; ( $y_{a}$ +y_B)/2)

Distance AB

AB = $(x_{B} - x_{a})^{2} + (y_{B} - y_{a})^{2}$

Équation de droite

y = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine)

Pente (coefficient directeur)

a = (y_B − $y_{a}$ ) / (x_B − $x_{a}$ )

Ex : A(1;2) B(3;6) → a=(6−2)/(3−1)=2

Droites parallèles / perpendiculaires

Parallèles : a₁ = a₂ · Perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1

Pièges à éviter

✗ Ne pas confondre pente et ordonnée à l'origine
✗ Deux droites parallèles ont la même pente mais des ordonnées différentes

→ Vecteurs dans le plan 📄 mémento →

Coordonnées

$A B = (x_{B} - x_{a},;, y_{B} - y_{a})$

Ex : A(1;2) B(4;6) →

A B = (3,;, 4)

Norme (longueur)

| $A B$ | = $Δ x^{2} + Δ y^{2}$

Ex : |

A B

| =

9 + 16

= 5

Addition de vecteurs

$u^{\to}$ (x₁;y₁) + $v^{\to}$ (x₂;y₂) = (x₁+x₂ ; y₁+y₂)

Colinéarité

$u^{\to}$ (a;b) et $v^{\to}$ (c;d) colinéaires ⇔ ad − bc = 0

Pièges à éviter

✗ $A B$ ≠ $B A$ (le sens compte !). $A B$ = − $B A$
✗ k× $u^{\to}$ = (ka ; kb) — multiplier CHAQUE composante

Astuce

Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AC}$

Fiche créée par Lumaths · Plateforme de maths pour les élèves marocains

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