Fiche de révision — 2ème Bac SVT

Maths pour SVT · Fonctions, stats, probabilités, suites · lumaths.com

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Dérivées usuelles

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x · (sin x)' = cos x

Tableau de variation

f' > 0 → f croissante · f' < 0 → f décroissante · f'(a) = 0 → extremum possible

Limites usuelles

 $x \to + \infty lim e^{x} = + \infty \cdot x \to - \infty lim e^{x} = 0 \cdot x \to 0^{+} lim ln x = - \infty \cdot x \to + \infty lim ln x = + \infty$

TVI (Théorème des valeurs intermédiaires)

f continue sur [a,b], f(a)·f(b)<0 → ∃c: f(c)=0

Pièges à éviter

✗ eˣ > 0 pour tout x réel
✗ ln x défini seulement pour x > 0
✗ Extremum : f'(a)=0 ne suffit pas, vérifier le changement de signe de f'

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Moyenne pondérée

$\overline{x}$ = (Σ $x_{i} n_{i}$ ) / N avec N = Σ $n_{i}$

Médiane

Valeur qui partage la série en deux moitiés égales (50% de chaque côté)

Variance

V = (1/N)·Σ $n_{i}$ ( $x_{i}$ − $\overline{x}$ )² = (Σ $n_{i} x_{i}$ ²/N) − $\overline{x}$ ²

Écart-type

σ = $V$ · Plus σ est petit, plus les données sont concentrées

Étendue

Étendue = Valeur max − Valeur min

Quartiles

Q₁ = 1er quartile (25%) · Q₂ = médiane (50%) · Q₃ = 3e quartile (75%)

Pièges à éviter

✗ Ne pas confondre médiane et moyenne (elles peuvent être très différentes)
✗ V ≥ 0 toujours — si vous trouvez négatif, erreur de calcul

Astuce

Boîte à moustaches : [Min, Q₁, Q₂, Q₃, Max] — visualisation de la dispersion

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Vocabulaire

Ω = univers · A, B = événements · P(A) ∈ [0,1] · P(Ω) = 1

Probabilité conditionnelle

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

Indépendance

A⊥B ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B)

Prob. totales

P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A| $\overline{B}$ )·P( $\overline{B}$ )

Bayes

P(B|A) = P(A|B)·P(B) / [P(A|B)·P(B) + P(A| $\overline{B}$ )·P( $\overline{B}$ )]

Loi binomiale

X∼B(n,p) : P(X=k) = $C_{n}^{k}$ · $p^{k}$ ·(1−p)ⁿ⁻ $^{k}$ · E(X)=np · σ= $n p (1 - p)$

Pièges à éviter

✗ P(A∩B) ≠ P(A)·P(B) si A et B ne sont pas indépendants
✗ P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) — ne pas oublier de soustraire l'intersection

Astuce

Arbre de probabilité : multiplier sur les branches, additionner les chemins

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Définition

X∼N(μ,σ²) : courbe en cloche, symétrique par rapport à μ

Normalisation

Z = (X−μ)/σ → Z∼N(0,1) (loi normale centrée réduite)

Règle empirique

P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68% | P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95% | P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99.7%

Symétrie

P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) = 1 − P(Z ≤ a) | P(Z ≤ 0) = 0.5

Pièges à éviter

✗ La table N(0,1) donne P(0≤Z≤z) ou P(Z≤z) selon la convention — bien vérifier
✗ P(X = a) = 0 pour une loi continue (probabilité d'un point = 0)

Astuce

Applications SVT : taille d'une population, durée de vie de cellules, mesures biologiques

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Suite arithmétique

$u_{n}$ = u₀ + nr | Σ $u_{k}$ = n×(u₀+ $u_{n - 1}$ )/2

Suite géométrique

$u_{n}$ = u₀×qⁿ | Σ $u_{k}$ (k=0 à n−1) = u₀×(1−qⁿ)/(1−q) (q≠1)

Limite suite géom.

|q|<1 → $u_n$→0 | |q|>1 → | $u_{n}$ |→+∞

Astuce

Croissance exponentielle (bactéries, virus) : modèle géométrique. Population constante : arithmétique.

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